Логические операции

Логические операции [logi­cal operations]. С какой-то степенью точности можно сказать, что математическая логика занимается изучением правил вывода определенных положений без конкретизации самих этих положений (безотносительно к их содержанию), примерно так, как геометрия связана с наукой о пространстве.

Одно из основных понятий математической логики — высказывание. Не стремясь к излишней математической строгости, можно сказать, что высказывание — это выражение, относительно которого можно сделать вывод  o его истинности или ложности. Например, «Ах!» — это не высказывание, а выражение — «Иван Иванович Иванов ~ телевизор» — высказывание, так как можно утверждать — оно ложно.

Знак ~ заменяет здесь слово «эквивалент» и связывает два имени: «Иван Иванович Иванов» и «телевизор». Каждое из этих имен высказыванием не является, тогда как все выражение — высказывание.

Над высказываниями можно производить определенные операции. Например, если заданы два высказывания, обозначенные логическими переменными A и B, то можно составить новое высказывание: «A и B«. При этом связка «и» заменяется символом˄; тогда запишем «A ˄ B«.  Можно также составить выражение «A или B«. Связка «или» обозначается с помощью символа ˅ . Можно представить себе высказывание «из A следует B»: «A ⟾ B». Наконец, можно составить отрицание данного высказывания: «не A». Для операции отрицания используют целый ряд обозначений.

ך˅˄˥˜

Например:  ך А , ~А, Ᾱ.

Придадим каждому из высказываний определенное значение истинности. Например, «А» = И, а «В» = Л, т.е. «А — истинно», а «В — ложно», тогда можно рассмотреть истинность перечисленных выше высказываний.

Начнем с самого простого — с отрицания: если А — истинно, то «не А — ложно». Наоборот, если «А — ложно», то  Ᾱ— истинно. Эти очевидные факты могут быть представлены в виде таблицы:

 

Отрицание

А	Ᾱ
И	Л
Л	И

Аналогично можно рассмотреть и другие операции:

Конъюнкция ( «И» ) А            В            А ˄  В			Дизъюнкция («ИЛИ») А               В           А  ˅  В
И И Л Л	И Л И Л	И Л Л Л	И И Л Л	И Л И Л	И И И Л
Импликация («если…то») А             В         А ⟾В			Эквивалентность («равносильно») А             В           А  =  В
И И Л Л	И Л И Л	И Л И И	И И Л Л	И Л И Л	И Л Л И

Можно рассмотреть еще одну Л.о. — «А тогда, и только тогда, когда В«. Ее можно записать:

(А <=>  В)   ≡ (А ⟾ В)  ˄ (В ⟾А)

Рассмотренная выше логика допускает только два значения истинности для высказывания — истинно и ложно, причем высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Поэтому она называется логикой с исключенным третьим.

Важную аналогию можно установить, заменив условное обозначение «И» на единицу, а «Л» на нуль. Тогда окажется, что логика аналогична системе действий над двоичными числами, на основе которой работают все компьютеры.